Enrico Galleschi nasce a Casciana Terme, in provincia di Pisa,  il 30 maggio1963, dopo le categorie giovanili corre come dilettante con i colori della G.S. Magniflex a partire dal 1983 con cui al primo anno vince il G.P. Vivaisti Cenaiesi. Il 1984 è un anno importante per Enrico che conquista il Giro del Montalbano, la Coppa Ciuffenna, la Coppa Bologna ed il Circuito Valle del Liri. L’anno seguente Galleschi si ripete alla Coppa Ciuffenna e fa suo il prestigioso Giro d’Abruzzo attirando le attenzioni dei team professionistici.